Pernyataan Teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema paling terkenal dan paling berguna dalam seluruh matematika. Pernyataannya:
Pada segitiga siku-siku: a² + b² = c²
di mana c adalah hipotenusa (sisi di depan sudut siku-siku — selalu sisi terpanjang), dan a, b adalah kedua kaki siku-sikunya.
Teorema ini pertama kali dikaitkan dengan matematikawan Yunani Pythagoras (~570–495 SM), meskipun buktinya mungkin sudah dikenal sebelumnya di Babilonia dan India.
Konvers Teorema Pythagoras
Konvers (kebalikan) dari Teorema Pythagoras juga berlaku dan sangat berguna:
- Jika a²+b² = c² → segitiga siku-siku
- Jika a²+b² > c² → segitiga lancip
- Jika a²+b² < c² → segitiga tumpul
Daftar Triple Pythagoras
| a | b | c | Bukti a²+b²=c² | Kelipatan Umum |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 | 6-8-10, 9-12-15, 15-20-25 |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 | 10-24-26 |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 | — |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 | — |
| 20 | 21 | 29 | 400+441=841 | — |
Contoh Soal 1: Mencari Hipotenusa
Soal: Kaki-kaki segitiga siku-siku adalah 9 cm dan 40 cm. Hitung hipotenusanya.
c² = a² + b² c² = 9² + 40² c² = 81 + 1.600 c² = 1.681 c = √1.681 = 41 cm (9, 40, 41 adalah triple Pythagoras)
Contoh Soal 2: Mencari Kaki
Soal: Hipotenusa segitiga siku-siku = 26 cm, salah satu kaki = 10 cm. Tentukan kaki lainnya.
a² + b² = c² 10² + b² = 26² 100 + b² = 676 b² = 576 b = √576 = 24 cm Verifikasi: 10²+24² = 100+576 = 676 = 26² ✓
Contoh Soal 3: Membuktikan Jenis Segitiga
Soal: Segitiga dengan sisi 7, 24, 25. Tentukan jenis segitiga ini.
Sisi terpanjang c = 25 a² + b² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625 c² = 25² = 625 a² + b² = c² → Segitiga SIKU-SIKU ✓
Contoh Soal 4: Diagonal Persegi Panjang
Soal: Persegi panjang 12 cm × 5 cm. Hitung panjang diagonalnya.
Diagonal adalah hipotenusa dari segitiga siku-siku dengan kaki 12 dan 5. d² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 d = √169 = 13 cm
Contoh Soal 5: Tinggi Segitiga Sama Sisi
Soal: Segitiga sama sisi bersisi 16 cm. Hitung tinggi dan luasnya.
Garis tinggi membagi alas menjadi dua bagian masing-masing 8 cm. Segitiga siku-siku terbentuk: kaki=8 cm, hipotenusa=16 cm. t² = 16² - 8² = 256 - 64 = 192 t = √192 = 8√3 ≈ 13,86 cm Luas = ½ × 16 × 8√3 = 64√3 ≈ 110,85 cm²
Kesalahan Umum
- Salah mengidentifikasi hipotenusa: Hipotenusa SELALU sisi di depan sudut siku-siku — sisi terpanjang. Jangan gunakan sisi manapun sebagai c.
- Menerapkan pada segitiga non-siku-siku: Teorema Pythagoras HANYA berlaku untuk segitiga siku-siku.
- Salah operasi akar: c = √(a²+b²), BUKAN c = √a + √b. Penjumlahan ada di dalam akar.
- Lupa bahwa akar selalu positif: Panjang sisi tidak mungkin negatif. Ambil nilai positif dari akar kuadrat.
- Satuan tidak seragam: Pastikan semua sisi dalam satuan yang sama sebelum menggunakan rumus.
Aplikasi Nyata
- Konstruksi: Metode 3-4-5 untuk memastikan sudut siku-siku sempurna saat membangun tembok dan fondasi.
- Navigasi: Menghitung jarak lurus antara dua titik pada peta menggunakan koordinat.
- Layar TV/monitor: Ukuran “55 inci” mengacu pada panjang diagonal layar, dihitung dengan Pythagoras.
- Rekayasa: Menghitung panjang kabel penyangga jembatan, tiang radio, dan menara.
- GPS dan pemetaan: Menghitung jarak Euclidean dalam sistem koordinat 2D dan 3D.
📚 Baca Juga:
Pertanyaan yang Sering Ditanyakan (FAQ)
Apa bunyi Teorema Pythagoras?
Pada setiap segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua kakinya: a²+b²=c², di mana c adalah hipotenusa.
Apa itu triple Pythagoras?
Triple Pythagoras adalah tiga bilangan bulat positif (a, b, c) yang memenuhi a²+b²=c². Contoh paling terkenal: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17). Setiap kelipatan dari triple ini juga triple Pythagoras.
Apakah Teorema Pythagoras berlaku untuk segitiga sembarang?
Tidak. Teorema Pythagoras hanya berlaku untuk segitiga SIKU-SIKU. Untuk segitiga sembarang, gunakan Aturan Cosinus: c²=a²+b²-2ab·cosC.
Bagaimana cara menggunakan Teorema Pythagoras untuk membuktikan sudut siku-siku?
Konvers teorema: jika a²+b²=c², maka segitiga adalah siku-siku. Teknik ini digunakan tukang bangunan dengan metode 3-4-5 untuk memastikan sudut siku-siku.
Apakah Teorema Pythagoras berlaku dalam 3 dimensi?
Ya. Untuk kotak dengan dimensi a, b, c, panjang diagonal ruangnya adalah d=√(a²+b²+c²), yang merupakan ekstensi Teorema Pythagoras ke tiga dimensi.
